华为方舟实验室：AI破解2000年数学难题，高维空间叠罗汉更精准

你有没有过这样的困惑：搬家时，怎么把最多的衣服塞进行李箱而不挤压？超市货架上，饮料罐为什么总是摆得整整齐齐？这些日常场景背后，藏着一个困扰数学家2000年的终极问题——球填充。而最近我在看到一篇华为诺亚方舟实验室和伦敦大学学院的最新论文，让AI当起了"数学侦探"，居然在12个维度上刷新了这个难题的最优解，这事儿让整个几何界都眼前一亮。

我们解读最新技术，文末有相关信息。

作者：张长旺，图源：旺知识

从应用角度看，球填充的突破也能惠及我们的生活：

• 通信领域：更优的球填充对应更高效的信号编码，能让5G、6G网络传输更快、更稳定；

• 材料科学：原子的排列方式本质上就是一种球填充，找到更优的排列能研发出更坚固、更轻便的材料；

• 医疗成像：CT扫描的分辨率提升，也和高维数据的"填充效率"息息相关。

今天就来聊聊，这台AI是怎么在高维空间里"叠罗汉"，还超越人类数学家的？

一、先搞懂：什么是球填充？为啥难倒人类2000年？

先别急着觉得"高维空间"离你很远。其实球填充的核心特别简单：在给定空间里，塞进最多不重叠的球，让空间利用率最高。

咱们生活在3维空间，最直观的就是装橙子——超市堆橙子的方式，能让橙子占满约74%的空间，这是人类早就知道的3维最优解。但如果把空间换成2维（比如一张纸），最多能让圆占满约90.69%的面积；而到了8维空间，有一种叫E₈晶格的排列方式，能达到惊人的填充密度，这个发现还拿了菲尔兹奖。

可问题来了：除了2、3、8、24这四个维度，其他维度的最优填充方式，人类找了2000年都没搞定。为啥这么难？

举个例子：在3维空间里，你摆完一个球，只需要考虑它周围6个球的位置；但到了10维空间，一个球周围能紧密挨着1260个球——这就像在一个巨大的体育馆里安排1260个人，每个人之间距离相等，还不能互相碰到，难度可想而知。更要命的是，高维空间的"打包规则"和低维完全不同，人类的直觉在这里根本不管用。

数学家们退而求其次：既然找不到最优解，那就先找"上限"——比如证明10维空间里，球最多只能占30%的体积，哪怕没找到具体排列方式，也能给后续研究划清边界。而计算这个上限的核心方法，就是"三点法"——通过解一个超复杂的数学方程（半定规划，SDP）来逼近真实上限。

但这里有个坑：解一次这种方程，可能要花好几天。如果像大海捞针一样试各种可能，就算用超级计算机也得耗上几十年。这就是为什么球填充问题明明原理不复杂，却成了数学界的"硬骨头"。

二、传统方法的死穴：要么慢到离谱，要么笨到没用

在AI介入之前，数学家们怎么找这个上限？基本上是"手动试错+运气成分"。

简单说，解这个SDP方程需要两个关键：一是选对两个几何参数（相当于定好"打包的基本规则"），二是设计一组约束条件（相当于规定"球不能怎么摆"）。这就像做饭：参数是火候和食材比例，约束条件是烹饪步骤，稍有差池，出来的就不是"最优解"而是"黑暗料理"。

之前的做法有两个致命问题：

1. 参数选得死：数学家们习惯固定一个参数，只调另一个，相当于做饭只改火候不改食材比例，根本没探索完所有可能；

2. 约束条件靠灵感：那些复杂的数学约束，全靠数学家的直觉和经验设计，就像靠大厨的手感调味，既耗时又容易遗漏更好的组合。

更头疼的是，每次调整后，都要等好几天才能知道结果好不好。这就像你花三天做一道菜，尝了一口发现盐放少了，又得花三天重新做——效率低到让人崩溃。

有的团队之前也尝试过用传统算法优化，但光是试完一组参数就花了半个月，结果还不如前辈数学家几十年前的成果。靠"笨办法"穷举，根本不可能突破瓶颈。

三、AI的神操作：把数学问题变成"闯关游戏"

这篇论文最让我惊艳的地方，就是它换了个思路——不跟数学家比"算得准"，而是比"找得巧"。研究者把解SDP方程的过程，设计成了一个AI能玩的"闯关游戏"，名叫"SDP游戏"。

咱们用打游戏来类比一下这个过程：

• 游戏目标：找到一组最优的参数和约束条件，让解出来的填充上限最接近真实值（相当于闯到最后一关，拿到最高分）；

• 第一关（参数关）：AI要选两个几何参数，这一步用"贝叶斯优化"——相当于游戏里的"地图探索"，AI会记住之前哪些区域出过好结果，优先往那些地方走，不会瞎转悠；

• 第二关（约束关）：根据选好的参数，AI要设计约束条件。这里研究者搞了个天才设计：把复杂的数学约束，拆成一个个"多项式积木"，还制定了组合规则（比如哪些积木能搭在一起）。AI就像搭乐高一样，用这些积木拼出不同的约束条件，这一步用"蒙特卡洛树搜索"——相当于游戏里的"技能组合尝试"，AI会优先试那些看起来能拿高分的组合。

这个设计的巧妙之处在于：它把一个抽象的数学问题，变成了AI擅长的序列决策问题。AI不用懂复杂的几何原理，只要在游戏里不断试错、记教训，就能慢慢逼近最优解。

更绝的是，AI还学会了"举一反三"。它会记住哪些"积木组合"在某个维度上管用，到了另一个维度就稍微调整一下再用；还会在探索新区域的同时，不放弃之前发现的好结果——这就是"探索与利用的平衡"，也是人类在做复杂决策时很难做到的。

四、战绩惊人：12个维度刷新纪录，80%新发现是人类没见过的

说了这么多，这台AI到底行不行？看数据就知道——它在4到16维（除了8维，因为8维最优解已经被证明）的12个维度上，都刷新了之前的最优上限。

举几个直观的例子：

• 4维空间：之前的最好上限是0.63610733，AI算出了0.63610277，虽然看起来差得不多，但在数学上，这已经是近几十年来的重大突破；

• 16维空间：之前的上限是0.02499441，AI直接降到了0.02492121，相当于在同样大的空间里，AI找到了更紧凑的"打包方式"。

更让数学家兴奋的是，AI发现的约束条件里，80%到85%都是人类之前没见过的"新积木组合"。但有意思的是，它并没有完全抛弃人类的智慧——那些被数学家验证过的核心"积木"，AI也都保留了下来。

我仔细研究了这些新组合，发现了一个规律：AI特别偏爱"低度数多项式"的积木。这就像搭房子，AI知道用大石块（低度数多项式）能快速搭出稳固的框架，再用小石子（高度数多项式）填补缝隙。这种"抓大放小"的策略，比人类盲目尝试所有组合高效多了。

还有一个意外发现：AI打破了数学家"固定一个参数"的思维定式。它在2维的参数空间里，找到了很多人类从没考虑过的区域，而这些区域恰恰能算出更优的上限。这就像大家一直以为只能用铁锅做饭，AI却发现用陶瓷锅能做出更鲜美的汤——不是人类不够聪明，而是思维惯性限制了探索范围。

五、8维空间的终极测试：AI能逼近菲尔兹奖级别的答案吗？

8维空间的球填充问题，已经被数学家Maryna Viazovska解决，她还因此获得了菲尔兹奖。研究者们特意用8维空间做了个测试：不告诉AI任何关于8维最优解的信息，只让它自己搜，能接近这个标准答案吗？

结果让人惊喜：AI算出的上限是0.2536695134，而已知的最优解是0.2536695079，两者几乎相差无几。更神奇的是，AI发现的函数特性，居然和Viazovska的证明里的关键条件高度吻合——比如函数在某个范围内非正，傅里叶变换非负等。

这意味着什么？AI在完全没有人类提示的情况下，靠自己的搜索策略，居然摸到了菲尔兹奖级别的数学规律。就像一个从没学过物理的人，靠不断扔苹果，居然总结出了万有引力定律——这背后的意义，远比刷新几个维度的纪录更重大。

当然，AI也不是完美的。它目前还没完全满足最优解的所有条件，比如函数在原点的归一化问题。但研究者推测，只要给AI更多的计算时间，它大概率能收敛到完全正确的结果。

六、不止于球填充：AI正在改变数学研究的游戏规则

这篇论文的价值，远不止解决了一个数学难题。它证明了：对于那些"评估一次要花好几天"的复杂问题，AI完全可以不用"暴力穷举"，而是靠"聪明搜索"找到答案。

这种"样本高效的模型基AI"，正在打开数学研究的新大门。要知道，很多数学难题（比如密码学里的格问题、编码理论里的最优码设计）都和球填充类似——不是算不出来，而是找不到高效的搜索路径。现在有了这个AI框架，这些难题都有了新的破解思路。

从应用角度看，球填充的突破也能惠及我们的生活：

• 通信领域：更优的球填充对应更高效的信号编码，能让5G、6G网络传输更快、更稳定；

• 材料科学：原子的排列方式本质上就是一种球填充，找到更优的排列能研发出更坚固、更轻便的材料；

• 医疗成像：CT扫描的分辨率提升，也和高维数据的"填充效率"息息相关。

不过，AI还没到能取代数学家的地步。它目前只能在已知的数学框架里找最优解，却没法像人类一样提出全新的理论框架。比如Viazovska的证明用到了"模形式"这种高深的数学工具，AI现在还完全无法自主发明这种工具。

七、未来可期：AI和数学家的"双向奔赴"

这篇论文让我看到了一个新趋势：AI不再是数学家的"计算器"，而是"合作伙伴"。数学家提供理论框架和约束条件，AI负责高效搜索最优解；AI发现的新结构，又能给数学家提供新的研究灵感——这种"双向奔赴"，可能是未来数学突破的核心模式。

接下来，研究者们计划把这个AI框架扩展到更高维度，甚至尝试解决"四点法"等更复杂的问题。如果能成功，说不定几十年内，我们就能看到所有维度球填充问题的最优解被一一破解。

最后，我想抛出一个问题：当AI能自主发现数学定理、破解千年难题时，我们该如何定义"数学创造力"？是人类独有的直觉，还是包括AI在内的、更广义的"智能探索"？欢迎在评论区留下你的看法。

参考资料

• 标题：Model-Based and Sample-Efficient AI-Assisted Math Discovery in Sphere Packing

• 作者：Rasul Tutunov, Alexandre Maraval, Antoine Grosnit, Xihan Li, Jun Wang, Haitham Bou-Ammar（华为诺亚方舟实验室和伦敦大学学院）

• 链接：https://arxiv.org/pdf/2512.04829